Question

16．已知0＜x＜$\frac{π}{4}，sinx+cosx=\frac{7}{5}$，求值：
（1）sinx-cosx；
（2）2sin²x+cos²x-3sinxcosx．

Answer 1

分析 （1）两边平方，先求出2sinxcosx=$\frac{24}{25}$，再求出（sinx-cosx）²=$\frac{1}{25}$，根据角的范围，即可求出sinx-cosx，
（2）根据（1）求出sinx，cosx的值，化简代入即可．

解答 解：（1）∵sinx+cosx=$\frac{7}{5}$，
∴（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx=$\frac{49}{25}$，
∴2sinxcosx=$\frac{24}{25}$，
∴（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=$\frac{1}{25}$，
∵0＜x＜$\frac{π}{4}$
∴sinx＜cosx，
∴$sinx-cosx=-\frac{1}{5}$，
（2）由$\left\{\begin{array}{l}sinx-cosx=-\frac{1}{5}\\ sinx+cosx=\frac{7}{5}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}sinx=\frac{3}{5}\\ cosx=\frac{4}{5}\end{array}\right.$，
∴2sin²x+cos²x-3sinxcosx=1+sin²x-3sinxcosx，
=$1+\frac{9}{25}-3×\frac{3}{5}×\frac{4}{5}$，
=$-\frac{2}{25}$．

点评 本题考查了三角函数值的化简与计算，属于基础题．