Question

11．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知$\overrightarrow{m}$=（3，2sinA），$\overrightarrow{n}$=（sinA，1+cosA）满足$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，且a=$\sqrt{7}$（c-b）．
（Ⅰ）求∠A的值；
（Ⅱ）求cosC的值．

Answer 1

分析 （1）由题意，利用向量平行的坐标表示可得关于cosA 的方程，从而可求cosA，进而可求A
（2）由已知a=$\sqrt{7}$（c-b），两边同时平方可得，b=2c，结合正弦定理可得sinC=2sinB，然后可求sinC，cosC．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（3，2sinA），$\overrightarrow{n}$=（sinA，1+cosA）满足$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴3（1+cosA）=2sin²A
即2cos²A+3cosA+1=0
∴cosA=-$\frac{1}{2}$或-1（舍去）
∴A=$\frac{2π}{3}$π…（5分）
（2）∵a=$\sqrt{7}$（c-b），
∴7（c²+b²-2bc）=a²
而a²=b²+c²+bc
∴2c²-5bc+2b²=0
∴c=2b或c=$\frac{1}{2}$b（∵c＞b，舍去）…（8分）
∴sinC=2sinB，
∵$\sqrt{7}$（sinC-sinB）=sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得sinC=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，cosC=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$…（10分）

点评 本题主要考查了向量平行的坐标表示及同角平方关系的应用，属于知识的简单应用．