Question

1．已知函数y=x²-2x-11在x=2处的切线方程为y=f（x），数列{a_n}满足a_n=f（n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）求nS_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过求导可知切线斜率k=2，进而由点斜式可知切线方程，进而计算可得结论；
（2）通过记g（x）=x³-14x²（x＞0），利用导数、结合一元二次不等式考虑g（x）的单调性，计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，y′=2x-2，
∴切线斜率k=2•2-2=2，
又∵当x=2时，y=2²-2•2-11=-11，
∴切线过（2，-11），
∴切线方程为：y+11=2（x-2），
整理得：y=2x-15，
∴a_n=f（n）=2n-15，
∴数列{a_n}是以-13为首项、2为公差的等差数列，
∴S_n=$\frac{n（-13+2n-15）}{2}$=n²-14n；
（2）依题意nS_n=n³-14n²，
记g（x）=x³-14x²（x＞0），则g′（x）=3x²-28x，
∴当x∈（0，$\frac{28}{3}$）时，g′（x）＜0；当x∈（$\frac{28}{3}$，+∞）时，g′（x）＞0；
∴g（x）在区间（0，$\frac{28}{3}$）上单调递减，在区间（$\frac{28}{3}$，+∞）上单调递增，
∴g（x）在x=$\frac{28}{3}$时取最小值，
∵g（9）=9³-14•9²=-405，g（10）=10³-14•10²=-400，
∴当n=9时nS_n取最小值，为-405．

点评 本题是一道关于数列与函数的综合题，注意解题方法的积累，属于中档题．