Question

13．已知公比q不为1的等比数列{a_n}的首项${a_1}=\frac{1}{2}$，前n项和为S_n，且a₄+S₄，a₅+S₅，a₆+S₆成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对n∈N₊，在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，记插入的这n个数的和为{b_n}，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）通过2（a₅+S₅）=a₄+S₄+a₆+S₆化简得2q²-3q+1=0，进而计算可得结论；
（II）通过b_n=$\frac{3}{4}$n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，写出T_n、$\frac{1}{2}•$T_n的表达式，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（I）由题可知：2（a₅+S₅）=a₄+S₄+a₆+S₆，
化简得：2a₆-3a₅+a₄=0，
∴2q²-3q+1=0，
解得：q=$\frac{1}{2}$或q=1（舍），
∴a_n=$\frac{1}{2}•$$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（II）依题意b_n=$\frac{n（{a}_{n}+{a}_{n+1}）}{2}$=$\frac{3}{4}$n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴${T_n}=\frac{3}{4}[1×\frac{1}{2}+2×{（\frac{1}{2}）^2}+3×{（\frac{1}{2}）^3}+…+（n-1）{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+n×{（\frac{1}{2}）^n}]$，
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{3}{4}[1×{（\frac{1}{2}）^2}+2×{（\frac{1}{2}）^3}+3×{（\frac{1}{2}）^4}+…+（n-1）{（\frac{1}{2}）^n}+n×{（\frac{1}{2}）^{n+1}}]$，
两式相减得：$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{3}{4}[\frac{1}{2}+{（\frac{1}{2}）^2}+{（\frac{1}{2}）^3}+…+{（\frac{1}{2}）^n}-n{（\frac{1}{2}）^{n+1}}]$
=$\frac{3}{4}$•（$\frac{1}{2}$•$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$），
∴T_n=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．