Question

5．关于函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$），则
①y=f（x）的最大值为$\sqrt{2}$；
②y=f（x）的最小正周期是π；
③y=f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{13π}{24}}$]上是减函数；
④将函数y=$\sqrt{2}$cos2x的图象向右平移$\frac{π}{24}$个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 由诱导公式和整体思想化简可得f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{12}$），逐个选项验证可得．

解答 解：化简可得f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）
=cos（2x+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{2}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）
=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{12}$）
①y=f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，正确；
②y=f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，正确；
③由2kπ≤2x-$\frac{π}{12}$≤2kπ+π可得kπ+$\frac{π}{24}$≤x≤kπ+$\frac{13π}{24}$，
∴函数的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{24}$，kπ+$\frac{13π}{24}$]（k∈Z）
∴y=f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{13π}{24}}$]上是减函数，错误；
④将函数y=$\sqrt{2}$cos2x的图象向右平移$\frac{π}{24}$个单位后，
得到函数y=$\sqrt{2}$cos2（x-$\frac{π}{24}$）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{12}$）即已知函数的图象，故正确．
故选：D

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的图象和性质．