Question

15．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右顶点分别是A、B，直线x=m交椭圆于上下P、Q两点，则直线AQ与直线PB的交点M的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（x≠0，y≠0）．

Answer 1

分析 利用三点共线建立方程，利用P（m，y₀）在椭圆上，化简即可求得轨迹方程．

解答 解：设P（m，y₀），Q（m，-y₀），直线AQ与直线PB的交点M（x，y），
∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右顶点分别是A、B，
∴A（-a，0），B（a，0），
∵A、Q、M三点共线，
∴$\frac{y-0}{x+a}$=$\frac{0+{y}_{0}}{-a-m}$，…①
∵P、B、M三点共线，
∴$\frac{y-0}{x-a}$=$\frac{{y}_{0}-0}{m-a}$，…②
联立①、②，解得：m=$\frac{{a}^{2}}{x}$，y₀=-$\frac{ay}{x}$，
∵P（m，y₀）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上，
∴$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即$\frac{\frac{{a}^{4}}{{x}^{2}}}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{{a}^{2}{y}^{2}}{{x}^{2}}}{{b}^{2}}$=1，
整理得：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴点M的轨迹方程是：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（x≠0，y≠0），
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（x≠0，y≠0）．

点评 本题考查椭圆方程和性质，考查三点共线的知识和化简整理的能力，考查运算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．