Question

20．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左右焦点分别为F₁、F₂，直线l过椭圆的右焦点F₂与椭圆交于A、B两点．
（1）当直线l的斜率为1，点P为椭圆上的动点，满足使得△ABP的面积为$\frac{2\sqrt{5}-2}{3}$的点P有几个？并说明理由；
（2）△ABF₁的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1\\ x-y-1=0\end{array}\right.$求出AB坐标，进而可求AB，设x-y-C=0与椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1相切，可求出满足条件的两条切点，判断两条切线与x-y-1=0的距离，可得使得△ABP的面积为$\frac{2\sqrt{5}-2}{3}$的点P有几个．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，设△F₁MN的内切圆的径R，则△ABF₁的周长=4a=8，S_△ABF1=$\frac{1}{2}$（|AB|+|F₁A|+|F₁B|）R=4R，因此S_△ABF1最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F₁MN的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．

解答 解：（1）椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的右焦点坐标为（1，0），
直线l的斜率为1时，直线方程为x-y-1=0，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1\\ x-y-1=0\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\\ y=\frac{1}{3}\end{array}\right.$，
故A（0，-1），B（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），
则AB=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，
设x-y-C=0与椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1相切，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1\\ x-y-C=0\end{array}\right.$得：$\frac{3}{2}{x}^{2}-2Cx+{C}^{2}-1=0$，
由$△=4{C}^{2}-4×\frac{3}{2}（{C}^{2}-1）=0$得：C=$±\sqrt{3}$，
当P位于第二象限的切点时，P到直线AB的距离为：$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$，
此时△ABP的面积S=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}+2}{3}$＞$\frac{2\sqrt{5}-2}{3}$，
当P位于第二象限的切点时，P到直线AB的距离为：$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$，
此时△ABP的面积S=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}-2}{3}$＜$\frac{2\sqrt{5}-2}{3}$，
故满足△ABP的面积为$\frac{2\sqrt{5}-2}{3}$的点P有2个．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，设△ABF₁的内切圆的径R，
则△ABF₁的周长=4a=8，S_△ABF1=$\frac{1}{2}$（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R
因此S_△ABF1最大，R就最大，…（6分）
由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，
由 $\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1\end{array}\right.$得（m²+2）y²+2my-1=0，…（8分）
得y₁=$\frac{m+\sqrt{2{m}^{2}+2}}{{m}^{2}+2}$，y₂=$\frac{m-\sqrt{2{m}^{2}+2}}{{m}^{2}+2}$，
则S_△ABF1=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|（y₁-y₂）=y₁-y₂=$\frac{2\sqrt{2{m}^{2}+2}}{{m}^{2}+2}$，…（9分）
令t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，则t≥1，
则S_△ABF1=$\frac{2\sqrt{2{m}^{2}+2}}{{m}^{2}+2}$=$\frac{2\sqrt{2}t}{{t}^{2}+1}$=$\frac{2\sqrt{2}}{t+\frac{1}{t}}$，…（10分）
令f（t）=$t+\frac{1}{t}$，则f′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$，
当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，
有f（t）≥f（1）=2，S_△ABF1≤$\sqrt{2}$，
即当t=1，m=0时，S_△ABF1=$\sqrt{2}$，
S_△ABF1=4R，
∴R_max=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
这时所求内切圆面积的最大值为$\frac{1}{8}$π．
故直线l：x=1，△_△ABF1内切圆面积的最大值为$\frac{1}{8}$π…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出S_△ABF1最大，R就最大是关键