Question

12．由正整数构成的数列{a_n}，满足a₁=1，a₈=262，且a_n+1＞a_n+2ⁿ其中（n=1，2，…，7），求数列的前8项和是多少？

Answer 1

分析 通过a_n+1＞a_n+2ⁿ、a₈=262可知a₇＜a₈-2⁷=134，同理：a₆≤68，a₅≤35，a₄≤18，a₃≤9，a₂≤4，另一方面通过a₂＞a₁+2¹=3可确定a₂=4，同理可得其他各项的值，进而可得结论．

解答 解：∵a_n+1＞a_n+2ⁿ，a₈=262，
∴a₇＜a₈-2⁷=262-128=134，
∴a₇≤133，
同理：a₆≤68，a₅≤35，a₄≤18，a₃≤9，a₂≤4，
又∵a₂＞a₁+2¹=3，
∴a₂=4，
同理：a₃=9，a₄=18，a₅=35，a₆=68，a₇=133，
∴a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈
=1+4+9+18+35+68+133+262
=530．

点评 本题考查数列的求和，注意解题方法的积累，属于中档题．