Question

1．用0，1，2，3，4，5这六个数字
（1）组成多少个无重复数字的五位奇数？
（2）可组成多少个无重复数字的能被5整除的五位数？
（3）可组成多少个无重复数字的且大于31250的五位数？
（4）可组成多少个无重复数字的能被3整除的五位数？

Answer 1

分析 （1）根据题意，首先分析末尾数字，易得末位数字可以为1、3、5，可得其取法数目，其首位数字不能为0，可得其取法数目，再选3个数字，排在中间，有A₄⁴种排法，由分步计数原理，计算可得答案；
（2）分两类，当末尾数字时0时，当末尾数字是5时，根据分类计数原理可得．
（3）第一类，首位数字大于3的有2种，第二类，首位数字是3，第二位数字比1的有3种，第三类，首位数字是3，第二位数字是1，第三位数字比2大的有2种，第四类，首位数字是3，第二位数字是1，第三位数字是2，第四位数字比5的没有，第五类，前4位数字是3125，第五位数字比0的大0只有1种，根据分类计数原理可得．
（4）能被3整除，其数字之和为3的倍数，分有0和无0两类，根据分类计数原理可得．

解答 解：（1）根据题意，末位数字可以为1、3、5，有A₃¹种取法，首位数字不能为0，有A₄¹种取法，再选3个数字，排在中间，有A₄³种排法，则五位奇数共有A₃¹A₄¹A₄³=288（个）
（2）被5整除即末尾是0或5，当末尾数字时0时，有A₅⁴种，
当末尾数字是5时，首位数字不能为0，有A₄¹种取法，再选3个数字，排在中间，有A₄³种排法可组成A₄¹A₄³种，
根据分类计数原理A₅⁴+A₄¹A₄³，=216个．
（3）大于31250的五位数，第一类，首位数字大于3的有2种，故有2A₅⁴种，
第二类，首位数字是3，第二位数字比1的有3种，故有3A₄³种，
第三类，首位数字是3，第二位数字是1，第三位数字比2大的有2种，故有2A₃²种，
第四类，首位数字是3，第二位数字是1，第三位数字是2，第四位数字比5的没有，
第五类，前4位数字是3125，第五位数字比0的大0只有1种，
根据分类计数原理，可组成$2A_5^4+3A_4^3+2A_3^2+1=325$个无重复数字的且大于31250的五位数．
（4）没有0时，1+2+3+4+5=15能被3整除，故有A₅⁵=120种，有0时，只能选1，2，4，5，故有A₄¹A₄⁴=96种，
根据分类计数原理，共有120+96=216种．

点评 本题考查排列、组合的应用，解题时注意题干条件对数的限制，其次还要注意首位数字不能为0，属于中档题．