Question

7．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）设$AP=1，AD=\sqrt{3}$，三棱锥P-ABD的体积$V=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，求AC与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）设BD和AC交于点O，连接EO，由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；
（2）运用棱锥的条件公式，计算可得AB，AC，作AH⊥PB交PB于H，在直角三角形PAB中，运用面积求得AH，由线面垂直的性质和判定，可得AH垂直于平面PBC，由线面角的定义，可得AC与平面PBC所成角的平面角为∠ACH，再由解直角三角形的知识，即可得到所求正弦．

解答 解：（1）设BD和AC交于点O，连接EO，
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，
所以EO∥PB，且EO在平面AEC内，PB不在平面AEC内，
所以PB∥平面AEC；
（2）由$AP=1，AD=\sqrt{3}$，
$V=\frac{1}{6}PA•AB•AD=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，得$AB=\frac{3}{2}$，
AC=$\sqrt{3+\frac{9}{4}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
作AH⊥PB交PB于H，
由BC⊥PA，BC⊥AB，
即有BC⊥面PAB，所以BC⊥AH，
所以AH⊥平面PBC，
故$AH=\frac{PA•AB}{PB}=\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$，
故AC与平面PBC所成角的平面角为∠ACH，
则$sin∠ACH=\frac{AH}{AC}=\frac{{2\sqrt{273}}}{91}$．

点评 本题考查空间直线和平面的位置关系：平行和垂直，同时考查直线和平面所成的角的求法，考查运算能力，属于中档题．