Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知定点，点A在x轴的非正半轴上运动，点B在y轴上运动，满足，A关于点B的对称点为M，设点M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程；

（2）已知点，动直线与C相交于P，Q两点，求过G，P，Q三点的圆在直线上截得的弦长的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据点A在x轴的非正半轴上运动，点B在y轴上运动，设，再由 ， ，得到a，b的关系式，然后由A关于点B的对称点为M，得到，利用代入法化简求解.

（2）由抛物线与直线相交，设，根据关于轴对称，得到过G，P，Q三点的圆的圆心在x轴上，设圆心为，由，运用两点间的距离公式求得圆的方程，令，得到圆E在直线上截得的弦长，再结合基本不等式求最小值.

（1）因为点A在x轴的非正半轴上运动，点B在y轴上运动，

所以设，

因为 ， ，

所以，

因为A关于点B的对称点为M，

所以 ，

即 ，

代入式得，

所以曲线C的方程是.

（2）由（1）知抛物线的方程为，

直线与抛物线方程联立解得，，

设，

因为关于轴对称，所以过G，P，Q三点的圆的圆心在x轴上，

设圆心为，

所以，即，

解得，

所以圆E的方程为，

令，的，

所以圆E在直线上截得的弦长为，

因为，

所以，

，

当且仅当，即时，取等号，

所以当时，圆E在直线上截得的弦长的最小值为.