Question

【题目】已知椭圆C：的离心率为，且经过点（，）.

（1）椭圆C的方程；

（2）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△OAB（O为原点）面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由椭圆的离心率，得，又由椭圆C经过点，代入可得，联立方程组，求得的值，即可求得椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，联立方程组，求得，，再由弦长公式和点到直线的距离公式，求得面积的表达式，利用基本不等式，即可求解.

（1）根据题意知：离心率，可得，即，

由，所以，整理得…….①

又由椭圆C经过点，代入可得，即…..②

联立①②，解得,所以椭圆C的方程为.

（2）由题意，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，

联立方程组，消去y得，

因为直线与椭圆C相交于两点，

所以，得，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，

所以

==

点到直线的距离

所以面积S△AOB=·d=()=

令，则，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

此时，面积取得最大值.