Question

【题目】设复数与复平面上点对应.

（1）若是关于的一元二次方程的一个虚根，且，求实数的值；

（2）设复数满足条件（其中、常数），当为奇数时，动点的轨迹为，当为偶数时，动点的轨迹为，且两条曲线都经过点，求轨迹与的方程；

（3）在（2）的条件下，轨迹上存在点，使点与点的最小距离不小于，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）m＝4；（2）C1的方程是：（x），C2的方程是：．（3）或．

【解析】

（1）由实系数方程虚根成对，利用韦达定理直接求出m的值．

（2）方法一：分n为奇数和偶数，化出a的范围，联立双曲线方程，求出a值，推出双曲线方程即可．

方法二：由题意分a的奇偶数，联立方程组，求出复数β，解出a，根据双曲线的定义求出双曲线方程．

（3）设点A的坐标，求出|AB|表达式，根据x范围，x的对称轴讨论，时，|AB|的最小值，不小于，求出实数x0的取值范围．

（1）β是方程的一个虚根，则是方程的另一个虚根，

则，所以m＝4

（2）方法1：①当n为奇数时，| +3|﹣|﹣3|＝2a，常数），

轨迹C1为双曲线一支，其方程为，x≥a；

②当n为偶数时，| +3|+|﹣3|＝4a，常数），

轨迹C2为椭圆，其方程为；

依题意得方程组

解得a2＝3，

因为，所以，

此时轨迹为C1与C2的方程分别是：，x，．

方法2：依题意得

轨迹为C1与C2都经过点，且点对应的复数，

代入上式得，

即对应的轨迹C1是双曲线，方程为；

对应的轨迹C2是椭圆，方程为．

（3）由（2）知，轨迹C2：，设点A的坐标为（x，y），

则

，

当即时，

当即时，，

综上或．