【题目】如图,三棱柱中,侧面
是菱形,
.
(1)证明:;
(2)若,
,
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)连接交
于点
,连接
,可证
平面
,得B1C⊥AO,B10=CO,进而可得AC=AB1;(2)先根据已知条件证明
平面
以
为原点,
所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系
,求得平面
的一个法向量,然后利用向量公式即可求得结果.
(1)连接交
于点
,连接
,
∵四边形是菱形,∴
且
为
中点,
∵,
,∴
平面
,
平面
,∴
,
为
中点,
为
的垂直平分线,
∴.
(2)不妨设,则
,
,
∵,∴
,
,
又,
,∴
平面
(方法一)以为原点,
所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系
,
则,
,
,
设平面的一个法向量为
,则
,
,设
,
直线与平面
所成角的正弦值,即直线
与平面
所成角的正弦值为
(方法二)设点到平面
的距离为
,
三棱锥的体积
三棱锥的体积
解,得
直线与平面
所成角的正弦值,即直线
与平面
所成角的正弦值为
.
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【题目】设双曲线的两支为
(如图),正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上。
(1)求证:P、Q、R不能都在双曲线的同一支上;
(2)设P(-1,-1)在上,Q、R在
上。求顶点Q、R的坐标。
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
(
为参数),以平面直角坐标系
的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程及曲线
上的动点
到坐标原点
的距离
的最大值;
(Ⅱ)若曲线与曲线
相交于
,
两点,且与
轴相交于点
,求
的值.
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【题目】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
0 | π | 2π | |||
x | |||||
0 | 4 | -4 | 0 |
(1)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将图象上所有点向左平行移动θ(
)个单位长度,得到
的图象.若
图象的一个对称中心为
,求θ的最小值.
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【题目】给出下列命题:
①“数列为等比数列”是“数列
为等比数列”的充分不必要条件;
②“”是“函数
在区间
上为增函数”的充要条件;
③“”是“直线
与直线
互相垂直”的充要条件;
④设,
,
分别是
三个内角
,
,
所对的边,若
,
,则“
”是“
”的必要不充分条件.其中,真命题的序号是________.
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【题目】在中学生综合素质评价某个维度的测评中,分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人,女生400人,为了了解性别对该维度测评结果的影响,采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果,并作出频数统计表如下:
表一:男生
男生 | 等级 | 优秀 | 合格 | 尚待改进 |
频数 | 15 | 5 |
表二:女生
女生 | 等级 | 优秀 | 合格 | 尚待改进 |
频数 | 15 | 3 |
(1)求,
的值;
(2)从表二的非优秀学生中随机抽取2人交谈,求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率;
(3)由表中统计数据填写列联表,并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
男生 | 女生 | 总计 | |
优秀 | |||
非优秀 | |||
总计 | 45 |
参考公式:,其中
.
参考数据:
0.01 | 0.05 | 0.01 | |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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【题目】如图,直角梯形ABDC中,,
,
,
,
.
(1)若S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线,并说明理由;
(2)直角梯形ABDC绕直线AC所在直线旋转一周所得几何体名称是什么?并求出其体积.
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【题目】设复数与复平面上点
对应.
(1)若是关于
的一元二次方程
的一个虚根,且
,求实数
的值;
(2)设复数满足条件
(其中
、常数
),当
为奇数时,动点
的轨迹为
,当
为偶数时,动点
的轨迹为
,且两条曲线都经过点
,求轨迹
与
的方程;
(3)在(2)的条件下,轨迹上存在点
,使点
与点
的最小距离不小于
,求实数
的取值范围.
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