Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的

2

倍，斜率为1的直线l与椭圆相交，截得的弦长为正整数的直线l恰有7条，则椭圆标准方程为（　　）

• A、

  x2

  6

  +

  y2

  3

  =1
• B、

  x2

  4

  +

  y2

  2

  =1
• C、

  x2

  16

  +

  y2

  8

  =1
• D、

  x2

  12

  +

  y2

  6

  =1

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：

分析：椭圆即即

x2

2b2

+

y2

b2

=1（b＞0），由题意可得这7条弦长分别为1，2，3，4，3，2，1，且过原点的弦长等于4，把y=x，代入椭圆化简并利用根与系数的关系可解得正数b的值，即可求得椭圆标准方程．

解答： 解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的

2

倍，
∴椭圆即

x2

2b2

+

y2

b2

=1（b＞0），
由题意可得这7条弦长分别为1，2，3，4，3，2，1，且过原点的弦长等于4．  
把 y=x代入椭圆可得3x²=2b²，∴x₁+x₂=0，x₁•x₂=

-2b2

3

，
故有4=

2

•

0+ 8b2 3

，∴b²=3，
∴a²=6，
∴椭圆标准方程为

x2

6

+

y2

3

=1
故选：A．

点评：本题考查椭圆标准方程，开车直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，确定7条弦长分别为1，2，3，4，3，2，1，且过原点的弦长等于4，是关键．