Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前4项的和为20，且a₁，a₂，a₄成等比数列；
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）设b_n=n•2^a_n，求数列{b_n}的前n项的和S_n；
（3）在第（2）问的基础上，是否存在n（n∈N^*）使得S_n=1440成立？若存在，求出所有解；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用方程组法，可以求数列{a_n}通项公式；
（2）由b_n=n•2^a_n，利用错位相减法求数列{b_n}的前n项的和S_n；
（3）利用（2）的结论，代入计算，可得结论．

解答： 解：（1）设公差为d，则
∵等差数列{a_n}的前4项的和为20，且a₁，a₂，a₄成等比数列，
∴

4a1+6d=20 (a1+d)2=a1(a1+3d)

，
∴a₁=d=2，
∴a_n=2n；
（2）b_n=n•2^a_n=n•2²ⁿ=n•4ⁿ，
∴S_n=1•4+2•4²+…+n•4ⁿ，
∴4S_n=1•4²+…+（n-1）•4ⁿ+n•4ⁿ⁺¹，
两式相减可得-3S_n=4+4²+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹=

4(1-4n)

1-4

-n•4ⁿ⁺¹，
∴S_n=

n

3

×4n+1-

4

9

(4n-1)；
（3）S_n=1•4+2•4²+…+n•4ⁿ=

n

3

×4n+1-

4

9

(4n-1)，
则S₄=1256，S₅＞1440，
故不存在n（n∈N^*）使得S_n=1440成立．

点评：方程组法是解决数列通项问题的基本方法，求数列的和应该根据数列通项的特点选择正确方法．