Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，且∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=

6

，点P、M、N分别为BC₁、CC₁、AB₁的中点．
（1）求证：PN∥平面ABC；
（2）求证：AB₁⊥A₁M；
（3）求二面角C₁-AB₁-A₁的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）连结CB₁，由已知条件推导出PN∥AC，由此能证明PN∥平面ABC．
（2）以点C₁为原点，以C₁B₁所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A₁M⊥AB₁．
（3）分别求出面AB₁C₁的一个法向量和平面AA₁B₁的一个法向量利用向量法能求出二面角C₁-AB₁-A₁的余弦值．

解答： （1）证明：连结CB₁，∵P是BC₁的中点，∴CB₁过点P，（1分）
∵N为AB₁的中点，∴PN∥AC，（2分）
又∵AC?面ABC，PN不包含于面ABC，
∴PN∥平面ABC．（3分）
（2）证明：在直角△ABC中，∵BC=1，∠BAC=30°，
∴AC=A₁C₁=

3

，（4分）
∵棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，且B₁C₁⊥C₁A₁，
以点C₁为原点，以C₁B₁所在的直线为x轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则C₁（0，0，0），A1(0，

3

，0)，B₁（1，0，0），
A（0，

3

，

6

），M（0，0，

6

2

），（6分）
∴

AB1

=(1，-

3

，-

6

)，

A1M

=(0，-

3

，

6

2

)，（7分）
∵

AB1

•

A1M

=3-

6

×

6

2

=0，（8分）
∴A₁M⊥AB₁．（9分）
（3）解：依题意得C₁（0，0，0），A1(0，

3

，0)，
B₁（1，0，0），A（0，

3

，

6

），B（1，0，

6

），
C（0，0，

6

），M（0，0，

6

2

），（11分）
设面AB₁C₁的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
∵

C1B1

=（1，0，0），

C1A

=（0，

3

，

6

），
∴

n • C1B1 =x=0 n • C1A = 3 y+ 6 z=0

，
令z=1，得

n

=（0，-

2

，1）．-----（12分）
设平面AA₁B₁的一个法向量为

m

=(x1，y1，z1)，
∵

AA1

=(0，0，-

6

)，

AB1

=(1，-

3

，-

6

)，
∴

m • AA1 =- 6 z1=0 m • AB1 =x1- 3 y1- 6 z1=0

，
取x1=

3

，得

m

=(

3

，1，0)，（13分）
故二面角的平面角θ的余弦值为：
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

- 2

3 • 4

|=

6

6

．（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．