Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a=4，b=acosC+

3

3

csinA．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）当△ABC的周长最大时，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，利用两角和公式化简整理后可求得tanA的值，进而求得A．
（Ⅱ）利用余弦定理构建b，c的关系式，利用基本不等式的性质求得△ABC的周长最大时，b，c的值，进而求得此时三角形的面积．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵b=acosC+

3

3

csinA．
∴由正弦定理得：sinB=sinAcosC+

3

3

sinCsinA，
即sin（A+C）=sinAcosC+

3

3

sinCsinA，
∴sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+

3

3

sinCsinA，sinC＞0，
∴cosA=

3

3

sinA，即tanA=

3

，
∴∠A=

π

3

．
（Ⅱ）∵a=4，由余弦定理知a²=b²+c²-2bccosA，得16=b²+c²-bc，
∴16=（b+c）²-3bc，
∵bc≤

(b+c)2

4

，当且仅当b=c时等号成立，
∴16≥

1

4

(b+c)2，即b+c≤8，
∴当b=c时，b+c最大，即△ABC的周长最大，
∵∠A=

π

3

，
∴△ABC的周长最大时a=b=c=4，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=4

3

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的运用．解题的关键是利用正弦和余弦定理完成对边和角问题的转化和化归．