Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=12，S₁₂＞0，S₁₃＜0
（Ⅰ）求公差d的取值范围；
（Ⅱ）指出S₁，S₂，…S_n中哪一个最大？说明理由；
（Ⅲ）指出

S1

a1

，

S2

a2

，…

Sn

an

中哪一个最大？说明理由．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S₁₂＞0，S₁₃＜0，利用等差数列的前n项和的公式化简分别得到①和②，然后利用等差数列的通项公式化简a₃得到首项与公差的关系式，解出首项分别代入到①和②中得到关于d的不等式组，求出不等式组的解集即可得到d的范围；
（2）由已知条件推导出S_n=

d

2

[n-

1

2

(5-

24

d

)]²-

d

2

[（5-

24

d

）]²，从而得到[n-

1

2

（5-

24

d

）]²最小时，S_n最大，由此能求出S₁，S₂，…S_n中，S₆最大．
（3）要求

S1

a1

，

S2

a2

，…

Sn

an

中最大的一项，必须先搞清楚那一项最大，由题意可知，数列的首项大于0，公差小于0，那么

Sn

an

中最大的一项应该为S_n最大，而a_n为正的最小的那一项，由此能求出结果．

解答： 解：（1）依题意，有S₁₂=12a₁+

12×11

2

•d＞0，
S₁₃=13a₁+

13×12

2

•d＜0，
即

2a1+11d＞0，① a1+6d＜0，②

，
由a₃=12，得a₁=12-2d，③，
将③式分别代①、②式，得

24+7d＞0 3+d＜0

，
解得∴-

24

7

＜d＜-3．
（2）S_n=na₁+

n(n-1)

2

d
=n（12-2d）+

1

2

n（n-1）d
=

d

2

[n-

1

2

(5-

24

d

)]²-

d

2

[（5-

24

d

）]²，
∵d＜0，∴[n-

1

2

（5-

24

d

）]²最小时，S_n最大，
当-

24

7

＜d＜-3时，6＜

1

2

(5-

24

d

)＜6.5，
∵正整数n=6时，[n-

1

2

（5-

24

d

）]²最小，
∴S₁，S₂，…S_n中，S₆最大．
（3）由题意可知，数列的首项a₁＞0，公差d＜0，
∴

Sn

an

中最大的一项应该为S_n最大，而a_n为正的最小的那一项，
∵a₃=12，S₁₂＞0，S₁₃＜0
∴a₆+a₇＞0，a₇＜0，∴d＜0，a₁＞0，∴{a_n}是一个递减数列，
由（2）知当n=6时，S_n最大，a_n是{a_n}中最小的正数项，
∴

S6

a6

是

S1

a1

，

S2

a2

，…

Sn

an

中最大的一项．

点评：本题考查等差数列的公差的取值范围的求法，考查数列的前n项和中最大值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．