Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点（a，b）在直线x（sinA-sinB）+ysinB=csinC上．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若2cos²

A

2

-2sin²

B

2

=

3

2

，且A＜B，求

c

a

．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入求出cosC的值，即可确定出角C的值；
（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，将表示出的B代入利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后求出利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而求出C的度数，原式利用正弦定理化简，将sinA与sinC的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（Ⅰ）将（a，b）代入直线解析式得：a（sinA-sinB）+bsinB=csinC，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：a（a-b）+b²=c²，即a²+b²-c²=ab，
由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵0＜C＜π，
∴C=

π

3

；
（Ⅱ）∵2cos²

A

2

-2sin²

B

2

=1+cosA-1+cosB=cosA+cos（

2π

3

-A）=

1

2

cosA+

3

2

sinA=sin（A+

π

6

）=

3

2

，
∵A+B=

2π

3

，且A＜B，
∴0＜A＜

π

3

，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

π

2

，即A+

π

6

=

π

3

，
∴A=

π

6

，B=

π

2

，C=

π

3

，
则

c

a

=

sinC

sinA

=

3 2

1 2

=

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．