【题目】在直角坐标系平面上的一列点
,
,…,
,记为
,若由
构成的数列
满足
,
,其中
为与
轴正方向相同的单位向量,则称
为
点列.
(1)判断,
,
,…,
,是否为
点列,并说明理由;
(2)若为
点列.且点
在点
的右上方,(即
)任取其中连续三点
,
,
判断
的形状(锐角三角形,直角三角形,钝角三角形),并给予证明;
(3)若为
点列,正整数
,满足
.求证:
.
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【题目】已知动圆经过定点
,且与直线
相切,设动圆圆心
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)设过点的直线
,
分别与曲线
交于
,
两点,直线
,
的斜率存在,且倾斜角互补,证明:直线
的斜率为定值.
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【题目】在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”,由四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出一个小正方形(如图阴影部分)。若直角三角形中较小的锐角为a。现向大正方形区城内随机投掷一枚飞镖,要使飞镖落在小正方形内的概率为,则
_____________。
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【题目】如图,已知圆:
,点
是圆
内一个定点,点
是圆上任意一点,线段
的垂直平分线
和半径
相交于点
.当点
在圆上运动时,点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)设过点的直线
与曲线
相交于
两点(点
在
两点之间).是否存在直线
使得
?若存在,求直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】某城市为鼓励人们绿色出行,乘坐地铁,地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策,不超过站的地铁票价如下表:现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过
站,且他们各自在每个站下车的可能性是相同的.
(1)若甲、乙两人共付费元,则甲、乙下车方案共有多少种?
(2)若甲、乙两人共付费元,求甲比乙先到达目的地的概率.
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【题目】如图,在三棱锥中,已知
,
,平面
平面
,点
分别是
的中点,
,连接
.
(1)若,并异面直线
与
所成角的余弦值的大小;
(2)若二面角的余弦值的大小为
,求
的长.
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【题目】对于函数y=H(x),若在其定义域内存在x0,使得x0·H(x0)=1成立,则称x0为函数H(x)的“倒数点”.已知函数f(x)=ln x,g(x)=(x+1)2-1.
(1)求证:函数f(x)有“倒数点”,并讨论函数f(x)的“倒数点”的个数;
(2)若当x≥1时,不等式xf(x)≤m[g(x)-x]恒成立,试求实数m的取值范围.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,若椭圆上的点与两个焦点构成的三角形中,面积最大为1.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与椭圆的交于
两点,
为坐标原点,且
,证明:直线
与圆
相切.
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