Question

如图，在边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别为CC₁，C₁D₁，D₁D，CD的中点，N是BC的中点，M在四边形EFGH上以及其内部运动，若MN∥平面A1BD，则M的轨迹的长度是（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、π
• D、

  π

  2

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先，连接GH、HN，根据面面平行的判定定理得到：平面A₁BD∥平面GHN，又点M在四边形上及其内部运动，从而得到点M须在线段GH上运动，即满足条件，求出GH即可得到结果．

解答： 解：连接GH、HN，则GH∥BA₁，HN∥BD，
∵在边长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别是CC₁，C₁D₁，D₁D，CD的中点，
N是BC的中点，M在四边形EFGH上及其内部运动，MN∥平面A₁BD，
∴平面A₁BD∥平面GHN，
又点M在四边形上及其内部运动，
则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH=

2

2

×2=

2

则点M轨迹的长度是

2

，
故选：A．

点评：本题重点考查了平面与平面平行的性质，以及线段长度的求解，同时考查了空间想象能力、推理能力、化归的思想，属于中档题．