【题目】如图,在直三棱柱中, ,D是棱AC的中点,且.
(1)求证: ;
(2)求异面直线与所成的角.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】试题分析:
(1)利用题意结合线面平行的判断定理由OD∥AB1即可证得结论 ;
(2)建立空间直角坐标系,结合题意可得异面直线与所成的角为 .
试题解析:
(1)如图,连接B1C交BC1于点O,连接OD.
∵O为B1C的中点,D为AC的中点,∴OD∥AB1.
∵AB1平面BC1D,OD平面BC1D,
∴AB1∥平面BC1D.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.
则B(0,0,0)、A(0,2,0)、C1(2,0,2)、B1(0,0,2).
∴=(0,-2,2)、=(2,0,2).
cos〈,〉=
==,
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ,则cosθ=,
∵θ∈(0,),∴θ=.
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【题目】已知直线与圆C:相交于A,B两点,弦AB中点为M(0,1),
(1)求实数的取值范围以及直线的方程;
(2)若圆C上存在四个点到直线的距离为,求实数a的取值范围;
(3)已知N(0,﹣3),若圆C上存在两个不同的点P,使,求实数的取值范围.
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【题目】一医用放射性物质原来质量为a,每年衰减的百分比相同,当衰减一半时,所用时间是10年,根据需要,放射性物质至少要保留原来的,否则需要更换.已知到今年为止,剩余的为原来的,
(1)求每年衰减的百分比;
(2)到今年为止,该放射性物质已衰减了多少年?
(3)今后至多还能用多少年?
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【题目】选修4-4:极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为: (t为参数),它与曲线C: 相交于A,B两点.
(1)求|AB|的长;
(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P的极坐标为,求点P到线段AB中点M的距离.
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【题目】在直角坐标系xOy上取两个定点 再取两个动点,,且.
(Ⅰ)求直线与交点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过的直线与轨迹C交于P,Q,过P作轴且与轨迹C交于另一点N,F为轨迹C的右焦点,若,求证:.
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【题目】将圆上每一点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得曲线C.
(Ⅰ)写出C的参数方程;
(Ⅱ)设直线l: 与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1 P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
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【题目】已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为(,),由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(π,0),φ∈(﹣,).
(1)求这条曲线的函数解析式;
(2)写出函数的单调区间.
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