Question

15．已知函数f（x）=4-x²
（1）试判断函数f（x）的奇偶性；
（2）用定义证明函数f（x）在[0，+∞）是减函数；
（3）求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）试利用奇偶函数的定义断函数f（x）的奇偶性；
（2）按照单调性定义证明函数f（x）在[0，+∞）是减函数；
（3）f（x）在[-1，0]上单调递增，[0，2]上单调递减，即可求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）f（-x）=4-（-x）²=4-x²，∴函数f（x）是偶函数；
（2）设0≤x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（4-x₁²）-（4-x₂²）=（x₂-x₁）（x₂+x₁），
∵0≤x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₂+x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函数f（x）在[0，+∞）是减函数；
（3）f（x）在[-1，0]上单调递增，[0，2]上单调递减，
∴f（x）在[-1，2]上的最大值为f（0）=4，最小值f（2）=0．

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性的判断与证明，考查函数的最大值和最小值，正确理解定义是关键．