Question

7．在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多投3次．每次投篮的结果相互独立．在M处每投进一球得3分，在N处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止．投篮的方案有以下两种：方案1，先在M处投一球，以后都在N处投；方案2，都在N处投篮．甲同学在M处投篮的命中率为0.2，在N处投篮的命中率为0.5．
（1）当甲同学选择方案1时，求甲同学测试结束后所得总分X的分布列和数学期望E（X）；
（2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由．

Answer 1

分析 （1）甲同学测试结束后所得总分X的可能值为0，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．
（2）甲同学选择1方案通过测试的概率为P₁，选择2方案通过测试的概率为P₂，由已知条件求出P₂＞P₁，从而得到甲同学选择方案2通过测试的可能性更大．

解答 解：（1）设该同学在M处投中为事件A，不中为事件$\overline{A}$，
在N处投中为事件B，不中为事件$\overline{B}$．则事件A，B相互独立，
甲同学测试结束后所得总分X的可能值为0，2，3，4．
则P（X=0）=P（$\overline{A}$$\overline{B}$$\overline{B}$）=P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（$\overline{B}$）=0.8×0.5×0.5=0.2，
P（X=2）=P（$\overline{A}$B$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$$\overline{B}$B）=P（$\overline{A}$）P（B）P（$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（B）=0.8×0.5×0.5+0.8×0.5×0.5=0.4，
P（X=3）=P（A）=0.2，
P（X=4）=P（$\overline{A}$BB）=P（$\overline{A}$）P（B）P（B）=0.8×0.5×0.5=0.2，
∴X的分布列为：

X	0	2	3	4
P	0.2	0.4	0.2	0.2

∴数学期望E（X）=0×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.2=2.2．（6分）
（2）甲同学选择1方案通过测试的概率为P₁，选择2方案通过测试的概率为P₂，
则P₁=P（X≥3）=0.2+0.2=0.4，
P₂=P（$\overline{B}$BB）+P（B$\overline{B}$B）+P（BB）=0.5×0.5×0.5+0.5×0.5×0.5+0.5×0.5=0.5，
∵P₂＞P₁，∴甲同学选择方案2通过测试的可能性更大．（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件的概率计算公式的合理运用．