Question

1．设函数f（x）=2^x+$\frac{a}{2^x}$-1（a为实数）．
（1）当a=1时，判断函数y=f（x）为奇偶性；
（2）对任意x∈R时f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据奇偶性的定义直接判断即可．
（2）分离参数法，转化成二次函数问题求解．

解答 解：（1）函数f（x）=2^x+$\frac{a}{2^x}$-1（a为实数）．
当a=1时，f（x）=2^x+2-^x-1，
∵f（-x）=2-^x+2^x-1=f（x），
∴y=f（x）为偶函数．
（2）由题意：函数f（x）=2^x+$\frac{a}{2^x}$-1（a为实数）．
任意x∈R时f（x）≥0，即2^x+$\frac{a}{2x}$-1≥0
?a≥2^x-（2^x）²，
令t=2^x＞0，则：a≥-t²+t（t＞0）．
对任意x∈R时f（x）≥0恒成立，只要当t＞0时，a≥（-t²+t）_max．
根据二次函数的图象及性质：
可得：当t=$\frac{1}{2}$时，可得（-t²+t）_max=$\frac{1}{4}$，
∴a≥$\frac{1}{4}$．
故得a的取值范围是[$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的奇偶性的判断和分离参数法转化为二次函数问题解决恒成立问题．属于中档题．