Question

17．若直线$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为8．

Answer 1

分析 将（1，2）代入直线方程，求得$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，利用“1”代换，根据基本不等式的性质，即可求得2a+b的最小值．

解答 解：直线$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，
由2a+b=（2a+b）×（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）=2+$\frac{4a}{b}$+$\frac{b}{a}$+2=4+$\frac{4a}{b}$+$\frac{b}{a}$≥4+2$\sqrt{\frac{4a}{b}×\frac{b}{a}}$=4+4=8，
当且仅当$\frac{4a}{b}$=$\frac{b}{a}$，即a=$\frac{1}{2}$，b=1时，取等号，
∴2a+b的最小值为8，
故答案为：8．

点评 本题考查基本不等式的应用，考查“1”代换，考查计算能力，属于基础题．