Question

2．由四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁截去三棱锥C₁-B₁CD₁后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A₁E⊥平面ABCD，
（Ⅰ）证明：A₁O∥平面B₁CD₁；
（Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面A₁EM⊥平面B₁CD₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取B₁D₁中点G，连结A₁G、CG，推导出A₁G$\underset{∥}{=}$OC，从而四边形OCGA₁是平行四边形，进而A₁O∥CG，由此能证明A₁O∥平面B₁CD₁．
（Ⅱ）推导出BD⊥A₁E，AO⊥BD，EM⊥BD，从而BD⊥平面A₁EM，再由BD∥B₁D₁，得B₁D₁⊥平面A₁EM，由此能证明平面A₁EM⊥平面B₁CD₁．

解答 证明：（Ⅰ）取B₁D₁中点G，连结A₁G、CG，
∵四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，
∴四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁截去三棱锥C₁-B₁CD₁后，A₁G$\underset{∥}{=}$OC，
∴四边形OCGA₁是平行四边形，∴A₁O∥CG，
∵A₁O?平面B₁CD₁，CG?平面B₁CD₁，
∴A₁O∥平面B₁CD₁．
（Ⅱ）四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁截去三棱锥C₁-B₁CD₁后，BD$\underset{∥}{=}$B₁D₁，
∵M是OD的中点，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A₁E⊥平面ABCD，
又BD?平面ABCD，∴BD⊥A₁E，
∵四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，
∴AO⊥BD，
∵M是OD的中点，E为AD的中点，∴EM⊥BD，
∵A₁E∩EM=E，∴BD⊥平面A₁EM，
∵BD∥B₁D₁，∴B₁D₁⊥平面A₁EM，
∵B₁D₁?平面B₁CD₁，
∴平面A₁EM⊥平面B₁CD₁．

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识点，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．