【题目】如图,四棱锥的底面是边长为
的正方形,
底面
,
分别为
的中点.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)若,试问在线段
上是否存在点
,使得二面角
的余弦值为
?若存在,确定点
的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)满足条件的 存在,是
中点
【解析】试题分析:(1)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发给予证明,而线线平行的寻找与论证,往往需要结合平几知识,如本题取PD中点M,利用三角形中位线性质得,再结合平行四边形性质得四边形EFMA为平行四边形,从而得出EF∥AM,(2)涉及二面角问题,一般利用空间向量进行解决,首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组求各面的法向量,结合向量数量积求向量夹角,最后根据二面角与向量夹角的关系列等量关系,求出待定参数
试题解析:证明:(Ⅰ)取PD中点M,连接MF、MA,
在△PCD中,F为PC的中点,∴,
正方形ABCD中E为AB中点,∴,∴
,
故四边形EFMA为平行四边形,∴EF∥AM,
又∵EF平面PAD,AM平面PAD,
∴EF∥平面PAD;
(Ⅱ)结论:满足条件的Q存在,是EF中点.理由如下:
如图:以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,
则P(0,0,2),B(0,1,0),C(1,1,0),E(0, ,0),F(
,
,1),
由题易知平面PAD的法向量为=(0,1,0),
假设存在Q满足条件:设,
∵,∴
,
,λ∈,
设平面PAQ的法向量为,
由,可得
,
∴,
由已知: ,解得:
,
所以满足条件的Q存在,是EF中点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线,直线
倾斜角是
且过抛物线
的焦点,直线
被抛物线
截得的线段长是16,双曲线
:
的一个焦点在抛物线
的准线上,则直线
与
轴的交点
到双曲线
的一条渐近线的距离是( )
A. 2 B. C.
D. 1
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【题目】如图,三棱锥,侧棱
,底面三角形
为正三角形,边长为
,顶点
在平面
上的射影为
,有
,且
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点
使得
⊥平面
,如果存在,求
的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】在数列中,
,其前
项和为
,满足
,其中
.
(1)设,证明:数列
是等差数列;
(2)设为数列
的前
项和,求
;
(3)设数列的通项公式为
为非零整数
),试确定
的值,使得对任意
,都有数列
为递增数列.
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