Question

【题目】已知函数，其中．

（Ⅰ）求函数的零点个数；

（Ⅱ）证明： 是函数存在最小值的充分而不必要条件．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数化简可得，对进行讨论可得零点个数；（Ⅱ）可得时，无极值；结合（Ⅰ）可得时， 的极小值为，而当时， 恒成立，可得极小值即为最小值，故充分性成立，可以举出反例当时，必要性不成立.

试题解析：（Ⅰ）由，得．

令，得，或．

所以当时，函数有且只有一个零点： ；当时，函数有两个相异的零点： ， ．

（Ⅱ）① 当时， 恒成立，此时函数在上单调递减，

所以，函数无极值．

② 当时， ， 的变化情况如下表：

	↘	极小值	↗	极大值	↘

所以， 时， 的极小值为．

又时， ，

所以，当时， 恒成立．

所以， 为的最小值．

故是函数存在最小值的充分条件．

③ 当时， ， 的变化情况如下表：

	↘	极小值	↗	极大值	↘

因为当时， ，

又，

所以，当时，函数也存在最小值．

所以， 不是函数存在最小值的必要条件．

综上， 是函数存在最小值的充分而不必要条件．