Question

【题目】已知函数f（x）=2sin2（ +x）+ （sin2x﹣cos2x），x∈[ ， ]．
（1）求 的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：
（2）解： = ．

又 ，

∴ ，

当 时，f（x）单调递增；

当 时，f（x）单调递减，

所以f（x）的单调递增区间是 ；

f（x）的单调递减区间是

（3）解：由（2）得 ，

∴f（x）的值域是[2，3]．

|f（x）﹣m|＜2f（x）﹣2＜m＜f（x）+2， ．

∴m＞f（x）max﹣2且 m＜f（x）min+2，

∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）

【解析】（1）根据所给的解析式，代入所给的自变量的值，计算出结果，本题也可以先化简再代入数值进行运算．（2）把所给的三角函数的解析式进行恒等变形，整理出y=Asin（ωx+φ）的形式，根据正弦曲线的单调性写出ωx+φ所在的区间，解出不等式即可．（3）根据前面整理出来的结果，得到f（x）的值域，不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，解出关于绝对值的不等式，求出结果．
【考点精析】认真审题，首先需要了解三角函数的最值(函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，)．