Question

【题目】已知、分别是椭圆的左顶点、右焦点，点为椭圆上一动点，当轴时， .

（1）求椭圆的离心率；

（2）若椭圆存在点，使得四边形是平行四边形（点在第一象限），求直线与的斜率之积；

（3）记圆为椭圆的“关联圆”. 若，过点作椭圆的“关联圆”的两条切线，切点为、，直线的横、纵截距分别为、，求证： 为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析．

【解析】试题分析：

(1)利用题意得到关于的齐次方程，求解方程组可得椭圆的离心率；

(2) 由题意， ， ，则，结合(1)的结论可得.

(3) 由（1）知椭圆方程为，圆的方程为.

四边形的外接圆方程为，

所以，因为点在椭圆上，则.

试题解析：

解：（1）由轴，知，代入椭圆的方程，

得，解得.

又，所以，解得.

（2）因为四边形是平行四边形，所以且轴，

所以，代入椭圆的方程，解得， 因为点在第一象限，所以，同理可得， ， 所以，

由（1）知，得，所以.

（3）由（1）知，又，解得，所以椭圆方程为，

圆的方程为 ①. 连接，由题意可知， ， ，

所以四边形的外接圆是以 为直径的圆，

设，则四边形的外接圆方程为，

即　　②. ①－②，得直线的方程为，

令，则；令，则. 所以，

因为点在椭圆上，所以，所以.