Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面四边形是矩形，平面，分别是的中点，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)45°；(3).

【解析】试题分析:（1）取的中点，要证平面，即证，构造平行四边形即可；（2）根据题意易知为二面角的平面角，求出即可；（3）易证平面，为直线与平面所成的角，即可求出直线与平面所成角的正弦值.

试题解析：

（1）证明：取的中点，连接，

∵是的中点，

∴，且，

∵四边形是矩形，

∴，且，

∴，且，

又∵是的中点，

∴，

∴，且，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∵平面，平面

∴平面.

（2）∵平面，平面

∴ ，

∵四边形是矩形，

∴ ，

∵ ，、平面，

∴平面，

又∵平面，

∴为二面角的平面角，

∵，

∴为等腰直角三角形

∴，即二面角的大小为.

（3）由（2）知，为等腰直角三角形

∵是斜边的中点，

∴，

由（1）知，，

∴，

又由（2）知，平面，平面，

∴ ，

∴ ，

又∵平面，

∴平面，

∴是直线在平面上的射影，

∴为直线与平面所成的角，

在中，，，

∴，

在等腰直角中，

∵是的中点，

∴，

∴

∴，

即直线与平面所成角的正弦值为.

点睛:求直线与平面所成角问题主要有两个方法:

①定义法,在斜线上取一点,过此点引平面的垂线,连接垂足与斜足得到射影,斜线与射影所夹较小角即线面角;

②等积法:直接求得斜线上一点到平面的距离，其与斜线段长的比值即线面角的正弦值，关键求点到平面距离，往往利用等积法来求.