Question

【题目】已知数列满足， ，其中.

（1）设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 的最小值为3.

【解析】试题分析：（1）利用递推公式即可得出为一个常数，从而证明数列是等差数，再利用等差数列的通项公式即可得到，进而得到；（2）利用（1）的结论，利用“裂项求和”即可得到，要使得对于恒成立，只要，即，解出即可.

试题解析：（1）证明： ，

所以数列是等差数列，

，因此，

由.

（2）由，

所以，

所以，

因为，所以恒成立，

依题意要使对于，恒成立，只需，且 解得， 的最小值为.

【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②

；③；

④ ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.