【题目】如图,在几何体中,底面为矩形, , .点在棱上,平面与棱交于点.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)若, , ,平面平面,求二面角的大小.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【解析】试题分析:(Ⅰ)由线面平行判定定理得平面,由线面平行性质定理得;(Ⅱ)通过线面垂直平面,得面面垂直;(Ⅲ)先证, , 两两互相垂直,建立空间直角坐标系,求出面的法向量为,结合面的法向量为,求出法向量夹角即可.
试题解析:(Ⅰ)因为为矩形,所以,所以平面.
又因为平面平面,所以.
(Ⅱ)因为为矩形,所以.因为,所以平面.
所以平面平面.
(Ⅲ)因为, ,所以平面,所以.
由(Ⅱ)得平面,所以,所以, , 两两互相垂直.建立空间直角坐标系.
不妨设,则,设.
由题意得, , , , , , .
所以, ,设平面的法向量为,则即令,则,所以.
又平面的法向量为,所以.
因为二面角的平面角是锐角,所以二面角的大小.
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【题目】国家为了鼓励节约用水,实行阶梯用水收费制度,价格参照表如表:
用水量(吨) | 单价(元/吨) | 注 |
0~20(含) | 2.5 | |
20~35(含) | 3 | 超过20吨不超过35吨的部分按3元/吨收费 |
35以上 | 4 | 超过35吨的部分按4元/吨收费 |
(1)若小明家10月份用水量为30吨,则应缴多少水费?
(2)若小明家10月份缴水费99元,则小明家10月份用水多少吨?
(3)写出水费y与用水量x之间的函数关系式,并画出函数的图象.
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【题目】已知甲、乙两个容器,甲容器容量为,装满纯酒精,乙容器容量为,其中装有体积为的水(:单位: ).现将甲容器中的液体倒人乙容器中,直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满,搅拌使乙容器中两种液体充分混合,再将乙容器中的液体倒人甲容器中直至倒满,搅拌使甲容器中液体充分混合,如此称为一次操作,假设操作过程中溶液体积变化忽略不计.设经过次操作之后,乙容器中含有纯酒精(单位: ),下列关于数列的说法正确的是( )
A. 当时,数列有最大值
B. 设,则数列为递减数列
C. 对任意的,始终有
D. 对任意的,都有
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【题目】如图,三棱锥,侧棱,底面三角形为正三角形,边长为,顶点在平面上的射影为,有,且.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点使得⊥平面,如果存在,求的值;如果不存在,请说明理由.
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