【题目】某奥运会主体育场的简化钢结构俯视图如图所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,我们称这两个椭圆相似。
(1)已知椭圆,写出与椭圆
相似且焦点在
轴上、短半轴长为
的椭圆
的标准方程;若在椭圆
上存在两点
、
关于直线
对称,求实数
的取值范围;
(2)从外层椭圆顶点A、B向内层椭圆引切线AC、BD,设内层椭圆方程为+
=1 (a
b
0),AC与BD的斜率之积为-
,求椭圆的离心率。
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:
(1)由两点、
关于直线
对称可设出直线
的方程为
,将此方程与椭圆方程联立消去y可得
,由题意此方程有两个不等实根,再根据
的中点在直线
上可消去t,根据判别式可得
的范围;
(2)设外层的椭圆的方程为,切线
的方程为
,由直线与椭圆相切根据判别式为零可得
,同理切线BD的斜率
,故
,结合条件可得
,根据此结论可求得
。
试题解析:
(1)椭圆的方程为:
设直线的方程为
,
由消去y整理得
设点,
中点为
,
则
所以
因为中点在直线
上,
所以,
解得
所以直线的方程为
,
由题意可知,直线与椭圆
有两个不同的交点,
即方程有两个不同的实数解,
所以,
解得或
(舍去)。
所以实数的取值范围为
。
(2)设外层的椭圆的方程为,
设切线的方程为
,
由消去y整理得
∵直线与椭圆相切,
∴,
整理得,
同理
∴,∴
,
由题意得
∴,∴
。
即椭圆的离心率为。
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【题目】判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.
(1)对数函数都是单调函数;
(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;
(3)x∈{x|x>0}, ;
(4)x0∈Z,log2x0>2.
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【题目】某钢厂打算租用,
两种型号的火车车皮运输900吨钢材,
,
两种车皮的载货量分别为36吨和60吨,租金分别为1.6万元/个和2.4万元/个,钢厂要求租车皮总数不超过21个,且
型车皮不多于
型车皮7个,分别用
,
表示租用
,
两种车皮的个数.
(Ⅰ)用,
列出满足条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(Ⅱ)分别租用,
两种车皮的个数是多少时,才能使得租金最少?并求出此最小租金.
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【题目】如图,已知长方形中,
,
为
的中点,将
沿
折起,使得平面
平面
,设点
是线段
上的一动点(不与
,
重合).
(Ⅰ)当时,求三棱锥
的体积;
(Ⅱ)求证: 不可能与
垂直.
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【题目】已知关于x的一元二次函数,分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对
。
(1)若,
,求函数
在
内是偶函数的概率;
(2)若,
,求函数
有零点的概率;
(3)若,
,求函数
在区间
上是增函数的概率。
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