Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过两个焦点，A，B是椭圆C的长轴端点．

（1）求椭圆C的标准方程和圆O的方程；
（2）设P、Q分别是椭圆C和圆O上位于y轴两侧的动点，若直线PQ与x平行，直线AP、BP与y轴的交点即为M、N，试证明∠MQN为直角．

Answer 1

【答案】
（1）解：由椭圆定义可得2a=4，又b=c且b2+c2=a2，

解得a=2，b=c= ，即椭圆C的标准方程为 ，

则圆O的方程为x2+y2=2；

（2）证明：设P（x0，y0），直线AP：y=k（x+2）（k≠0），

令x=0可得M（0，2k）．

将 和y=k（x+2）（k≠0）联立可得

（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣4=0，

则 ， ， ，

故 ，

直线BP的斜率为 ，

直线BP： ，

令x=0可得 ．

设Q（xQ，y0），则 ，

由 ， ，

可得 ，

所以 ，即∠MQN是定值90°

【解析】（1）运用椭圆的定义和a，b，c的关系，解方程可得椭圆的方程和圆的方程；（2）设P（x0 ， y0），直线AP：y=k（x+2）（k≠0），求得M，代入椭圆方程，求得P的坐标，求出直线BP的方程，可得N的坐标，设Q（xQ ， y0），求得向量QM，QN的坐标，运用向量数量积计算即可得证．