Question

在△ABC中，角所对的边分别为a，b，c，

m

=（2a，1），

n

=（2b-c，cosC），且

m

∥

n

．求：
（Ⅰ）求sinA的值；        
（Ⅱ）求三角函数式

-2cos2C

1+tanC

+1的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量共线（平行）的坐标表示,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（I）由

m

∥

n

，利用向量共线定理可得：2acosC-（2b-c）=0，利用余弦定理可得c²+b²-a²=bc，再利用余弦定理即可得出．
（II）利用倍角公式与同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式可得

-2cos2C

1+tanC

+1=

2

sin(2C-

π

4

)，
由B+C=

2π

3

，可得-

π

4

＜2C-

π

4

＜

13π

12

，于是sin(2C-

π

4

)∈(-

2

2

，1]，即可得出．

解答： 解：（I）∵

m

∥

n

，∴2acosC-（2b-c）=0，
∴2a×

a2+b2-c2

2ab

-2b+c=0，
化为c²+b²-a²=bc，∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∵A∈（0，π），∴A=

π

3

．
∴sinA=

3

2

．
（II）

-2cos2C

1+tanC

+1=

-2(cos2C-sin2C)

1+ sinC cosC

+1
=2cosC（sinC-cosC）+1=sin2C-2cos²C+1
=sin2C-cos2C
=

2

sin(2C-

π

4

)，
∵B+C=

2π

3

，
∴0＜C＜

2π

3

，
∴-

π

4

＜2C-

π

4

＜

13π

12

，
∴sin(2C-

π

4

)∈(-

2

2

，1]，
∴

2

sin(2C-

π

4

)∈(-1，

2

]．
∴三角函数式

-2cos2C

1+tanC

+1的取值范围是(-1，

2

]．

点评：本题考查了向量共线定理、余弦定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．