Question

已知函数f（x）=x³-ax²+3x，a∈R
（Ⅰ）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）是[-2，2]上的单调递增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数的导函数，直接由f′（1）=0求解a的值，最后利用导数符号确定函数的极值点，代入原函数，求出极值即可；
（Ⅱ）将问题转化为f′（x）≥0在[-2，2]上恒成立，利用分类讨论的思想进行参变量分离，转化成求函数的最值，求解即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-ax²+3x，a∈R，
∴f'（x）=3x²-2ax+3，
∵x=3是f（x）的极值点，
∴f'（3）=30-6a=0，解得a=5，
∴f（x）=x³-5x²+3x，f'（x）=3x²-10x+3，
令f′（x）=0，解得x=

1

3

或x=3，
∴f（x）在（-∞，

1

3

）上单调递增，在（

1

3

，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，
∴当x=

1

3

时，函数f（x）取得极大值f（

1

3

）=

13

27

，
当x=3时，函数f（x）取得极小值f（3）=-9；
（Ⅱ）∵函数f（x）是[-2，2]上的单调递增函数，
∴f′（x）=3x²-2ax+3≥0在[-2，2]上恒成立，即2ax≤3x²+3在[-2，2]上恒成立，
①当x=0时，0≤3恒成立，符合题意；
②当0＜x≤2时，a≤

3

2

(x+

1

x

)在0＜x≤2上恒成立，即a≤[

3

2

(x+

1

x

)]_min，
∵当x＞0时，x+

1

x

≥2（当x=1时取等号），
∴a≤3；
③当-2≤x＜0时，a≥

3

2

(x+

1

x

)在-2≤x＜0上恒成立，即a≤[

3

2

(x+

1

x

)]_max，
∵当x＜0时，x+

1

x

≤-2(当x=-1时取等号)，
∴a≥-3．
综合①②③，实数a的取值范围为-3≤a≤3．

点评：本题考查了函数在某点取得极值的条件，以及利用导数求函数的极值，同时考查了已知函数的单调性可以转化为恒成立问题，对于恒成立问题一般选用参变量分离的方法进行求解，考查了分类讨论的数学思想方法．属于中档题．