Question

已知f（x）=ax³+bx²+2x，在x=-1处取得极值，且在点（1，f（1））处的切线斜率为2．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）若关于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0在区间[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据已知中函数f（x）=ax³+bx²+2x在x=-1处取得极值，且在点（1，f（1）处的切线的斜率为2．我们易得f'（-1）=0，f'（1）=2，由此构造关于a，b的方程，解方程即可得到答案．
（2）根据（I）的结论我们易化简关于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0，构造函数g（x）分析函数的单调性后，我们可将关于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0在[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根，转化为不等式问题，解关于m的不等式组，即可求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+2；
由题意，得

f′(-1)=0 f′(1)=2

，
∴

3a-2b+2=0 3a+2b+2=2

，
∴

a=- 1 3 b= 1 2

．
∴f′（x）=-（x-2）（x+1），
由f′（x）＞0得-1＜x＜2；
∴f（x）的单调增区间是（-1，2）．
（2）由（1）知f（x）=-

1

3

x³+

1

2

x²+2x；
∴f（x）+x³-2x²-x+m=0⇒

2

3

x³-

3

2

x²+x+m=0；
令g（x）=

2

3

x³-

3

2

x²+x+m；
则g′（x）=（x-1）（2x-1），由g′（x）=0得x₁=1，x₂=

1

2

；
当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：

x	1 2	（ 1 2 ，1）	1	（1，2）	2
g′（x）		-	0	+
g（x）	m+ 5 24	↓	极小值	↑	m+ 4 3

当x=1时，g（x）_极小值=g（1）=m+

1

6

关于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0在区间[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根的充要条件是

g( 1 2 )≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

，
∴

m+ 5 24 ≥0 m+ 1 6 ＜0 m+ 4 3 ≥0

，
∴-

5

24

≤m＜-

1

6

．

点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中根据已知构造关于a，b的方程，解方程求出函数的解析式，是解答本题的关键．