【题目】已知正项数列的前
项和为
,对任意
,点
都在函数
的图像上.
(I)求数列的首项
和通项公式
;
(II)若数列满足
,求数列
的前
项和
;
(III)已知数列满足
.若对任意
,存在
,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】试题分析:(I)由点都在函数
的图像上,可得
,进而得
,两式相减可得结论.;(II)由(I)知
,所以
,利用错位相减法可得结果;(III)
,利用分组求和及裂项相消法可得
,进而利用不等式恒成立解答即可.
试题解析:(I)由题知,当时,
,所以
.
,所以
,两式相减得到
,
因为正项数列,所以
,
数列是以1为首项,1为公差的等差数列,所以
.
(II)由(I)知,所以
,
因此①,
②,
由①-②得到
所以.
(III)由(II)知,所以
.令
为
的前
项和,易得
.
因为,当
时,
,而
,得到
,所以当
时,
,所以
.
又,
的最大值为
.
因为对任意的,存在
,使得
成立.
所以,由此
.
【易错点晴】本题主要考查分组求和、裂项求和、“错位相减法”求数列的和,以及不等式恒成立问题,属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点,利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点:①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件(一个等差数列与一个等比数列的积);②相减时注意最后一项 的符号;③求和时注意项数别出错;④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中, 以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知点
的极坐标为
,曲线
的参数方程为
为参数).
(1)直线过
且与曲线
相切, 求直线
的极坐标方程;
(2)点 与点
关于
轴对称, 求曲线
上的点到点
的距离的取值范围.
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【题目】中国象棋中规定:马走“日”字,象走“田”字.如下图,在中国象棋的半个棋盘(的矩形中每个小方格都是单位正方形)中,若马在
处,可跳到
处,也可跳到
处,用向量
,
表示马走了“一步”.通过探究,你能在图中画出马在
处走了一步的所有情况吗?
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【题目】数列中,
,且对任意的
成等比数列,其公比为
.
(1)若,求
;
(2)若对任意的成等差数列,其公差为
.设
.
①求证:成等差数列并指出其公差;
②若,试求数列
的前
项和
.
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【题目】如图,游客从某旅游景区的景点处下上至
处有两种路径.一种是从
沿直线步行到
,另一种是先从
沿索道乘缆车到
,然后从
沿直线步行到
.现有甲、乙两位游客从
处下山,甲沿
匀速步行,速度为
.在甲出发
后,乙从
乘缆车到
,在
处停留
后,再从
匀速步行到
,假设缆车匀速直线运动的速度为
,山路
长为1260
,经测量
,
.
(1)求索道的长;
(2)问:乙出发多少后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过
,乙步行的速度应控制在什么范围内?
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【题目】选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤3},求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,若存在实数n使f(n)≤m-f(-n)成立,求实数m的取值范围.
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【题目】在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地区居民显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”,根据连续7天的新增病例数计算,下列各个选项中,一定符合上述指标的是__________.
①平均数; ②标准差
; ③平均数且标准差
;
④平均数且极差小于或等于2; ⑤众数等于1且极差小于或等于4.
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【题目】选修4-1《几何证明选讲》
已知A、B、C、D为圆O上的四点,直线DE为圆O的切线,AC∥DE,AC与BD相交于H点
(1)求证:BD平分∠ABC;
(2)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH的长.
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