Question

【题目】选修4－1《几何证明选讲》

已知A、B、C、D为圆O上的四点,直线DE为圆O的切线,AC∥DE,AC与BD相交于H点

（1)求证:BD平分∠ABC;

（2)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH的长.

Answer 1

【答案】（1) 详见解析（2)3

【解析】

试题分析：（1) 证明BD平分∠ABC实质就是求角相等：由弦切角定理得CDE=DBC ，由平行得CDE=DCA ，由同弧对等角得DBA=DCA ，三者结合得DBA=DBC （2)求线段长，一般利用相似三角形得比例关系：由ABH∽DBC,得，而由等角转化为等弦：由DBA=DBC 得AD=DC，，解得AH=3

试题解析：证明:（1)∵AC∥DE,∴CDE=DCA,又∵DBA=DCA,∴CDE=DBA

∵直线DE为圆O的切线,∴CDE=DBC

故DBA=DBC,即BD平分∠ABC

（2)∵CAB=CDB,且DBA=DBC,∴ABH∽DBC,∴

又EDC=DAC=DCA,∴AD=DC

∴, ∵AB=4,AD=6,BD=8∴AH=3