Question

【题目】已知函数在处取得极值.

（1）求的值；

（2）若对任意的，都有成立（其中是函数的导函数），求实数的最小值；

（3）证明：（）.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）求导，利用导数的意义即可求解；（2）求导，对的取值分类讨论即可求解；（3）利用（2）中的结论构造不等式，累加即可求解.

试题解析：（1）由题设可得，∵在处取得极值，

∴，即，解得，，经检验知，，满足题设条件；

（2）由（1）得，∴，∴在上恒成立，即在上恒成立，设，则，

，，设，

①当，即时，，∴，在上单调递增，

∴，即当时，满足题设条件，

②当，即时，设，是方程的两个实根，且，

由可知，由题设可知，当且仅当，即，即，即时，对任意的有，即在上恒成立，∴在上单调递增，

∴，∴时，也满足题设条件，综上，的取值范围为，∴实数的最小值为；（3）证明：由（2）知，当时，，即在上恒成立（当且仅当时取等号）.令（），得，

∴当且时，

当时，原不等式显然成立，∴原不等式得证.