Question

如图示,四棱锥P----ABCD的底面是边长为1的正方形，PA^CD，PA = 1， PD = ,E为PD上一点，PE = 2ED.
(1)  求证：PA ^平面ABCD；
(2)  求二面角D---AC---E的正切值；
(3) 在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF // 平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，
说明理由.

Answer 1

解：(1)  PA =" PD" =" 1" ,PD =" 2" ,
 PA² + AD² = PD², 即：PA ^ AD---2分
又PA ^ CD , AD , CD 相交于点D,

 PA ^平面ABCD-------4分
（2）过E作EG//PA 交AD于G，从而EG ^平面ABCD，
且AG =" 2GD" , EG = ,PA = , ------5分
连接BD交AC于O, 过G作GH//OD ，交AC于H，
连接EH. GH ^ AC , EH ^ AC ,
Ð EHG为二面角D—AC―E的平面角.-----6分
tanÐEHG == . -------8分
(3)以AB , AD , PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系]
则A（0 ，0， 0），B（1，0，0） ，C（1，1，0），P（0，0，1），E（0 , ,）, =" (1,1,0),"  =" (0" , , )---9分
设平面AEC的法向量=" (x," y,z) , 则
 ，即：， 令y =" 1" ,
则 =" (-" 1,1, - 2 )-------------10分
假设侧棱PC上存在一点F, 且＝  ，
（0 £ £ 1）, 使得：BF//平面AEC, 则× ＝ 0. 又因为：＝ +  ＝ （0 ，1，0）+
(-,-,)= (-,1-,),× ＝+ 1- - 2 =" 0" ,  = ,所以存在PD的中点F,
使得BF//平面AEC. ----------------12分

略