Question

已知函数f(x)=ln

1-x

1+x

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并加以证明；
（3）判断函数f（x）在定义域上的单调性并加以证明．

Answer 1

分析：（1）求函数f（x）的定义域，可令

1-x

1+x

＞0，解出此不等式的解集即可得到所求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，要用定义法，由函数解析式研究f（-x）与f（x）的关系，即可证明出函数的性质；
（3）此函数是一个减函数，由定义法证明要先任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，再两函数值作差，判断差的符号，再由定义得出结论．

解答：解：（1）由题意令

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1，所以函数的定义域是（-1，1）
（2）此函数是一个奇函数，证明如下
由（1）知函数的定义域关于原点对称，且f(-x)=ln

1+x

1-x

=-ln

1-x

1+x

=-f(x)，故函数是奇函数；
（3）此函数在定义域上是减函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=ln

1-x1

1+x1

-ln

1-x2

1+x2

=ln

(1-x1)(1+x2)

(1-x2)(1+x1)

由于x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，∴1-x₁＞1-x₂＞0，1+x₂＞1+x₁＞0，可得

(1-x1)(1+x2)

(1-x2)(1+x1)

＞1，
所以ln

(1-x1)(1+x2)

(1-x2)(1+x1)

＞0
即有f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
故函数在定义域是减函数

点评：本题考查了求函数的定义域，对数的运算法则，判断函数的奇偶性，定义法证明函数单调性，正确解答本题，关键是熟练记忆函数的性质及这些性质判断的方法，其中判断函数的单调性是本题的难点，定义法判断函数的单调性，其步骤是；取，作差，判号，得出结论，其中判号这一步易疏漏，切记