Question

（2012•武昌区模拟）（坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C：psin²θ=2acosθ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，直线l与曲线C分别交于M、N．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则实数a的值为

1

．

Answer 1

分析：把参数方程化为普通方程，把极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组利用根与系数的关系求出x₁+x₂=4+2a，x₁•x₂=4．再根据由|PM|、|MN|、|PN|成等比数列可得
 2(x1-x 2)2=

2

|x₁+2|•

2

|x₂+2|，由此求得实数a的值．

解答：解：曲线C：psin²θ=2acosθ（a＞0），即 ρ²sin²θ=2aρcosθ，即 y²=2ax． 直线l的参数方程

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，即 x-y-2=0．
设M（x₁，x₁-2），N（x₂，x₂-2），则由

y2=2ax x-y-2=0

可得 x²-（4+2a）x+4=0，∴x₁+x₂=4+2a，x₁•x₂=4．
由|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，可得|MN|²=|PM||PN|．
∴2(x1-x 2)2=

(x1+2)2+(x2-2 +4)2

•

(x2+2)2+(x2-2 +4)2

，化简可得  2(x1-x 2)2=

2

|x₁+2|•

2

|x₂+2|．
即 (x1+x 2)2-4x₁•x₂=|x₁•x₂+2（x₁+x₂）+4|，∴（4+2a）²-16=|4+2（4+2a）+4|，
解得 a=1，
故答案为 1．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和抛物线的位置关系的应用，属于中档题．