Question

17．已知在三棱锥P-ABC中，PA=4，AC=2$\sqrt{7}$，PB=BC=2$\sqrt{3}$，PA⊥平面PBC，则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$π
• B． 3π
• C． $\frac{9}{4}$π
• D． 4π

Answer 1

分析 确定△PBC为等边三角形，△ABC为等腰三角形，分别求出四面体P-ABC的内切球半径，即可得出结论．

解答 解：由题意，已知PA⊥面PBC，PA=4，PB=BC=2$\sqrt{3}$，AC=2$\sqrt{7}$，
所以，由勾股定理得到：AB=2$\sqrt{7}$，PC=2$\sqrt{3}$，
所以，△PBC为等边三角形，△ABC为等腰三角形
等边三角形PBC所在的小圆的直径PD=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=4，
那么，四面体P-ABC的外接球直径2R=4$\sqrt{2}$，所以，R=2$\sqrt{2}$，
V_P-ABC=$\frac{1}{3}$S_△PBC×PA=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×12×4=4$\sqrt{3}$，
表面积S=$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{3}×$4×2+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×12+$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{3}×$5=16$\sqrt{3}$，
设内切球半径为r，那么4$\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}×$16$\sqrt{3}$r，所以r=$\frac{3}{4}$，
所以三棱锥P-ABC的内切球的表面积为4π×$\frac{9}{16}$=$\frac{9π}{4}$，
故选：C．

点评 本题考查四面体P-ABC的内切球表面积，考查学生分析解决问题的能力，确定三棱锥P-ABC的内切球的半径是关键，属于中档题．