Question

6．已知x，y∈（-∞，0），且x+y=-1，则xy+$\frac{1}{xy}$有（　　）

• A． 最大值$\frac{17}{4}$
• B． 最小值$\frac{17}{4}$
• C． 最小值-$\frac{17}{4}$
• D． 最大值-$\frac{17}{4}$

Answer 1

分析 由基本不等式易得xy∈（0，$\frac{1}{4}$]，换元可得z=t+$\frac{1}{t}$，t∈（0，$\frac{1}{4}$]，由“对勾函数”的单调性可得．

解答 解：∵x，y∈（-∞，0），且x+y=-1，
∴-x，-y∈（0，+∞），且（-x）+（-y）=1，
∴由基本不等式可得xy=（-x）（-y）≤$[\frac{（-x）+（-y）}{2}]^{2}$=$\frac{1}{4}$
当且仅当-x=-y即x=y=-$\frac{1}{2}$时，上式取最大值$\frac{1}{4}$，即xy∈（0，$\frac{1}{4}$]，
令xy=t，则t∈（0，$\frac{1}{4}$]，已知式子化为z=t+$\frac{1}{t}$，
由函数的单调性易得函数z=t+$\frac{1}{t}$在t∈（0，$\frac{1}{4}$]上单调递减，
∴当t=$\frac{1}{4}$时，xy+$\frac{1}{xy}$有最小值$\frac{1}{4}$+4=$\frac{17}{4}$，
故选：B．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及“对勾函数”的单调性，属基础题．