Question

11．已知函数f（x）的导数f′（x）=a[x²+（1-a）x-a]（a≠0），若函数f（x）在x=a处取到极大值，则实数a的取值范围是（-1，0）．

Answer 1

分析 先对f′（x）进行因式分解，再讨论a的正负，以及a与-1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，确定是否在x=a处取到极大值，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：由题意得，f′（x）=a[x²+（1-a）x-a]=a（x+1）（x-a），
∵f（x）在x=a处取到极大值，
∴必有x＜a时，f′（x）＞0，且x＞a时，f′（x）＜0，
（1）当a＞0时，
当-1＜x＜a时，f′（x）＜0，当x＞a时，f′（x）＞0，
则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；
（2）当a=0时，函数f（x）无极值，不符合题意；
（3）当-1＜a＜0时，
当-1＜x＜a时，f′（x）＞0，当x＞a时，f′（x）＜0，
则f（x）在x=a处取到极大值，符合题意；
（4）当a=-1时，f′（x）≤0，函数f（x）无极值，不符合题意；
（5）当a＜-1时，
当x＜a时，f′（x）＜0，当a＜x＜-1时，f′（x）＞0，
则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；
综上所述-1＜a＜0，
故答案为：（-1，0）．

点评 本题考查了函数在某点取得极值的条件，以及导数与函数的单调性、极值的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题．