Question

1．函数f（x）=sin²x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=$\sqrt{3}$且f（$\frac{B}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{8}$，求△ABC的面积最大值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$sin2x，由周期公式即可得解．
（2）利用诱导公式化简已知等式可得cosB=$\frac{3}{4}$，由余弦定理及基本不等式可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}≥\frac{2ac-3}{2ac}$，解得ac≤6，由三角形面积公式即可得解．

解答 解：∵f（x）=sin²x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos2xcos$\frac{π}{4}$-sin2xsin$\frac{π}{4}$）$+\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$sin2x
①T=$\frac{2π}{2}=π$．…（5分）
②∵f（$\frac{B}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$sin（B+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cosB=$\frac{1}{8}$，
∴cosB=$\frac{3}{4}$，
在△ABC中，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}≥\frac{2ac-3}{2ac}$，得ac≤6，
∴当a=c=$\sqrt{6}$时，${S}_{△ABC}≤\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×6×\frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{3\sqrt{7}}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，周期公式，诱导公式，三角形面积公式，余弦定理及基本不等式的应用，属于基本知识的考查．